když začnu zavlažovat třeba sprinklerem, tak při požadovaném množství se mi pod stromem udělá "bažina". Jaká je tedy správná technika, abych strom dostatečně zavlažil a přitom mohl normálně užívat trávník pod ním?

Tomu nerozumím. Mám v zahradě trávník, když přijde průtrž mračen nebo týden nepřetržitě prší, mám bažinu v záhoncích. Ale na trávník mohu vběhnout hned po dešti a vůbec nic se neděje. 
   Problém bych viděl v tom, že většinu zalévané vody vezme travní drn a ke kořenům stromů se jí dostane málo. Já to řeším tak, že u pat stromů mám do půdy zavrtanou metr dlouhou 80mm širokou drenážní hadici. V případě potřeby zalévám či hnojím do ní.